Demonstração do Teorema de Pitágoras

Olá amigo leitor... Hoje irei mostrar para você como demonstrar o teorema de Pitágoras da maneira mais fácil que eu encontrei. É realmente muito fácil, espero que goste dessa matéria. Vamos lá então?!

Saiba mais sobre quem foi Pitágoras em sua Biografia aqui mesmo no Vivendo entre Símbolos. 

O teorema de Pitágoras pode ser enunciado da seguinte maneira:

Em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos desse triângulo. 

Ou seja, em um triângulo ABC com hipotenusa no lado "a" e catetos nos lados "b" e "c", teremos que:

a² = b² + c²

Vamos começar a demonstração dessa fórmula então?! Irei tomar como base a imagem acima para as minhas explicações.

Primeiro iremos imaginar uma reta que irá sair do vértice "A", que possui o ângulo reto, de maneira perpendicular em direção ao lado "a" e diremos que o ponto de encontro dessa reta com esse lado se chamará "D", então nossa figura ficará assim agora:

Note que essa reta que acabamos de fazer nada mais é do que a própria altura do triângulo. Irei dizer que ela mede "h".  Note também que depois que eu tracei essa reta o lado "a" ficou dividido em dois pedaços. Irei dizer que esses pedaços medem "m" e "n" então nossa figura ficará da seguinte maneira agora, veja:

Agora iremos dizer que os vértices "B" e "C" possuem os ângulos medindo "x" e "y" respectivamente, então nossa nova figura ficará da seguinte maneira, veja:

Se observarmos bem veremos que "x+y = 90º" olhando para o triangulo ABC (maior). Então podemos, ainda, preencher os dois triângulos menores ABD e ADC pelos ângulos que faltam, que no caso serão "x" e "y". Veja como ficará a nossa nova figura:

Essa é a figura que estávamos querendo chegar desde o início, pois será com ela que iremos tirar as deduções necessárias para demonstrarmos a formula de Pitágoras. Essa figura nos permite deduzir que os triângulos ABC, ABD e ADC são semelhantes entre si e isso nos permite fazer algumas relações matemáticas com seus lados.

Para ficar mais clara ainda essa explicação irei separar esses três triângulos, veja:

Agora faremos nossas observações:

Olhando somente para os triângulos ABC e ABD temos: 

Olhando somente para os triângulos ABC e ADC temos:

Sabemos que b² = a•n e que c² = a•m então se somarmos b² com c² seria o mesmo que estarmos somando a*n com a*m já que são iguais. Iremos fazer isso para ver o que acontece, veja:

b² + c² = a•n + a•m

Isolando o "a" do segundo membro temos que:

b² + c² = a•(m+n)

Lá no início dessa postagem eu disse que o lado "a" tinha se dividido em dois pedaços que eu decidi chamar de "m" e "n" então isso quer dizer que se eu juntar "m+n" eu terei o equivalente ao valor do lado "a" ou seja, m + n = a. Então nossa equação ficará da seguinte maneira, veja:

b² + c² = a•(m+n)

b² + c² = a•a

b² + c² = a²

ou 

a² = b² + c²

Essa foi a demonstração de hoje. Espero que tenha gostado. Um grande abraço e até a próxima!