O uso das figuras geométricas em questões algébricas

O conceito de produtos notáveis apareceu na Grécia em contextos de álgebra geométrica, ferramenta bastante empregada pelos gregos para lidar com situações que envolvessem números irracionais.

A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C.). Entretanto, é muito provável que a álgebra dos primeiros gregos ― desde os pitagóricos (século VI a.C.) até Euclides, Arquimedes (287-212 a.C.) e Apolônio (262-190 a.C.) ― já era geométrica, o que estabeleceu uma verdadeira tradição de situações essencialmente algébricas, bem como daquelas que envolviam números irracionais.

Vários fatores podem ser associados a essa tradição, dentre eles a dificuldade de lidar, na época, com números irracionais e números racionais; inexistência de uma notação algébrica satisfatória (que surge somente no século XVI d.C.) e o avanço enorme da Geometria (que levaria de forma natural a emprega-la sempre que possível na representação de situações matemáticas). Portanto, era natural para os matemáticos gregos desse período adotar um estilo geométrico para o qual tinham gosto e habilidade.

No livro II de Os elementos se encontram algumas identidades algébricas, tais como:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² - b²

4ab + (a – b)² = (a + b)²

Entretanto, essas identidades não eram apresentadas dessa forma, pois, na época, não havia essas notações. Os gregos, desde os pitagóricos até a época de Euclides, pensavam nessas situações geometricamente.

Por exemplo, o produto “ab” era visto como um retângulo de base “a” e altura “b”. Assim a identidade (a + b)² = a² + 2ab + b² era pensada em termos do diagrama apresentado na figura abaixo:

e enunciada da seguinte maneira:

Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm.

Euclides deixou registrado esse resultado pitagórico na proposição 4 do livro II de Os elementos e a prova é dada diretamente pela interpretação geométrica da situação.

Na figura, “o quadrado sobre a linha toda” é o quadrado de ABDE, “os quadrados sobre as duas partes” são os quadrados de áreas a² e b² (em azul) e “duas vezes o retângulo que as partes contêm” são dois retângulos de área “ab” (em verde).

Essa proposição (4) é representativa da forma como os problemas que envolvem álgebra eram concebidos e apresentados. Seguramente, as tentativas de expressão de todas as situações algébricas surgidas naquela época, segundo a álgebra geométrica, podiam levar a construções muito complicadas. Em virtude disso, a álgebra geométrica necessita mais do que texto escrito para que seja bem entendida, por isso o uso de figuras.  

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